Рациональные функции и их интегрирование

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

Сделав замену

, получаем:

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx= \int\frac{2(x+1)+1}{\bigl((x+1)^2+1\bigr)^3}dx= \int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}+ \int\frac{dz}{(z^2+1)^3}.$

В первом из двух слагаемых сделаем замену

и получим:

$\displaystyle \int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}=-\frac{1}{2(z^2+1)^2}+C.$

Во втором слагаемом применим описанный выше метод понижения степени: Односторонние производные функции в точке Пример: Составить уравнения прямых, проходящих через точку М( -1; 2 ) параллельно и перпендикулярно прямой 2x - 3y + 4 = 0.

$\displaystyle I_3=\int\frac{dz}{(z^2+1)^3}= \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^3}dz= \int\frac{dz}{(z^2+1)^2}- \int\frac{z^2}{(z^2+1)^3}dz=$
$\displaystyle =I_2-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^3}= I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}= \frac{3}{4}I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}.$

Для вычисления

ещё раз применим тот же самый приём:

$\displaystyle I_2=\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}= \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^2}dz= \int\frac{dz}{z^2+1}- \int\frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz=$
$\displaystyle =I_1-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^2}= I_2+\frac{z}{2(z^2+1)}-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z^2+1}= \frac{1}{2}I_1+\frac{z}{2(z^2+1)}.$

Поскольку

$\displaystyle I_1=\int\frac{dz}{z^2+1}=\mathop{\rm arctg}\nolimits z+C,$

имеем

$\displaystyle I_3=\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\fr... ...3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C$

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx= -\frac{1}{2(z^2+1)^2}+ \frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C=$
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z-2}{4(z^2+1)^2}+C=$
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1)+\frac{3x+3}{8(x^2+2x+2)}+\frac{x-1}{4(x^2+2x+2)^2}+C.$

Приведём теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:

Физика
Физика атома и ядра
	Физика атомного ядра Строение и превращение атомных ядер Опыты Резерфорда
Основы специальной теории относительности Прямые линии и плоскости
	Астрономические и земные измерения скорости света Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира
Механика основные законы
	Классическая механика, релятивистская механика, квантовая механика Элементы теории относительности Математика Решение типового варианта контрольной работы
Электростатика, Электродинамика Магнетизм, электрический ток
	Понятие об электростатическом поле Магнитное взаимодействие Электрический ток. Основные понятия. Получение и характеристики переменного тока
Моделирование информационных систем

Вычислим интеграл

Физика