Разложим на множители многочлен третьей степени

Разложим на множители многочлен третьей степени ${Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Проверим, нет ли у него целых корней. Если есть, то этот корень должен быть одним из делителей свободного члена, то есть числа 6. Эти делители равны $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$ . Подставляем эти числа в по порядку:

$\displaystyle Q(1)=1-3+2+6\ne0;Q(-1)=-1-3-2+6=0.$

Натолкнулись на корень многочлена, который оказался равным

. Значит,

делится без остатка на бином

. Выполним это деление "столбиком":

$\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l} x^3&... ...} &&6x&{}+6\\ &&6x&{}+6\\ \cline{3-4} &&&0 \end{array} \end{displaymath}$

Значит,

$\displaystyle Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6).$

Корни частного, то есть квадратного трёхчлена

, найдём обычным способом:

$\displaystyle x_{2,3}=2\pm\sqrt{4-6}=2\pm i\sqrt{2}.$

Эти два корня оказались комплексными, так что искомое разложение многочлена

на вещественные линейные и квадратичные множители уже получено: это ${Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6)}$ . Кратности как корня

, так и пары корней ${x_{2,3}=2\pm i\sqrt{2}}$ , оказались равными 1.

Итак, предположим, что нам дана правильная рациональная дробь

$\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Её знаменатель

после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов:

(если кратность корня

равна 1); $(x-x_j)^{k_j}$ , где $k_j\geqslant 2$ (эти множители соответствуют вещественным корням кратности больше 1);

(если кратность комплексных корней ${\alpha}_j+i{\beta}_j$ равна 1) и, наконец, $(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ (если кратность комплексных корней ${\alpha}_j+i{\beta}_j$ больше 1).

Каждому из указанных типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

$\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$ -- простейшая дробь первого типа;

$\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где , -- простейшая дробь второго типа;

$\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$ -- простейшая дробь третьего типа;

$\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где , -- простейшая дробь четвёртого типа.
Здесь и -- некоторые постоянные.

Любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе дроби имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа $\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$ , где -- некоторое число.

Если имеется множитель $(x-x_j)^{k_j}$ , где $k_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида $\frac{\textstyle{A_k}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где $k=k_j,k_j-1,\dots,1$ , -- это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители .)

Если в знаменателе имеется множитель ${x^2+p_jx+q_j}$ , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, $\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$ , где и -- некоторые числа.

Наконец, если имеется множитель $(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ , где $l_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида $\frac{\textstyle{A_kx+B_k}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где ${l=l_j,l_j-1,\dots,1}$ ; -- это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

$\displaystyle R(x)=\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^{k_j}\frac{A_{jk}}{(x-x_j)^k}+ \sum_{j=1}^s\sum_{l=1}^{l_j}\frac{C_{jl}x+B_{jl}}{(x^2+p_jx+q_j)^l},$

(2.4)

где $A_{jk},C_{jl},B_{jl}$ -- некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение (2.4) в соответствии с видом разложения на множители знаменателя

дроби

Для отыскания неизвестных постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей по формуле (2.4), привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные $A_{jk},C_{jl},B_{jl}$ , а числитель левой части -- нет.

Далее можно действовать одним из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в тот и в другой некоторые "удобные" значения и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Физика
Физика атома и ядра
	Физика атомного ядра Строение и превращение атомных ядер Опыты Резерфорда
Основы специальной теории относительности Прямые линии и плоскости
	Астрономические и земные измерения скорости света Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира
Механика основные законы
	Классическая механика, релятивистская механика, квантовая механика Элементы теории относительности Математика Решение типового варианта контрольной работы
Электростатика, Электродинамика Магнетизм, электрический ток
	Понятие об электростатическом поле Магнитное взаимодействие Электрический ток. Основные понятия. Получение и характеристики переменного тока
Моделирование информационных систем

Рациональные функции и их интегрирование

Физика